La Integral definida
es unos de los conceptos básicos del análisis matemático, y constituye una
herramienta fundamental en el desarrollo de numerosos campos matemáticos,
físicos, de ingeniería, etc.
De la propia
construcción de la integral definida se desprende la interpretación geométrica
que puede tener este concepto y su utilidad en el cálculo de áreas de
superficies y volúmenes.
La integral definida de una función es el área
bajo la curva de la función entre los límites x1 y x2.
Definición de una integral definida
Si f es una
función continua definida para a ≤ x ≤ b, dividimos el intervalo [a, b] en n subintervalos de igual ancho
Δx = (b – a)/n. Denotamos con x0 (= a), x1, x2,….., xn (= b) los puntos
extremos de estos subintervalos y elegimos los puntos muestra x1*, x2*,…., xn*
en estos subintervalos, de modo que x1*
se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi-1, xi]. Entonces la integral definida de f, desde a hasta b, es
Fuentes:
Cálculo: Trascendentes tempranas, escrito por James Stewart; Física para ciencias e ingeniería, escrito por Raymond A.
Serway,John Jewett,John W. Jewett, Jr
Ejemplo:
Se observa que el peso
de un niño se ha incrementado a razón de 2 kg. Por año en el periodo
comprendido entre los 2 y los 5 años de edad. Así el niño pasó de pesar 12.2kg,
que pesaba cuando cumplió 2 año, a pesar 14.2kg al cumplir 3 años, 16.2kg al
cumplir los 4 años y 18.2kg al cumplir 5 años de edad.
Si queremos obtener una
curva de crecimiento que relacione el peso con la edad del niño podemos
interpretar la razón de crecimiento 2 como la derivada de una cierta función
que sería, por tanto, la función cuya grafica coincida con la curva de
crecimiento buscada. En este caso es claro, la función buscada es del tipo p(x)=2x ya que su derivada es p´(x)=2. Tenemos que interpretar pues
que qué x representa la edad del
niño, mientras que p(x) nos da el
peso en kg. Sin embargo, cualquier función obtenida a partir de p(x) al sumarle una constante arbitraria
C ϵ R sigue
teniendo por derivada 2. Por tanto es más acertado decir que la función buscada
ha de ser del tipo p(x)=2x+C. En
nuestro caso concreto, teniendo en cuenta que p(2)=12.2 obtenemos finalmente que p(x)=2x+8.2 es la función de crecimiento del peso buscado.
Este proceso de obtener una función a
partir de su derivada es lo que se conoce con el nombre de integración.
